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Theorem 10: The diagonals of a parallelogram bisect one another


On the diagram to the right, AC bisects BD and BD bisects AC . This means that:


|AE| = |EC| |BE| = |ED|


‘To bisect’ means to divide into two equal parts.


B


Proof of Theorem 10 The diagonals of a parallelogram bisect one another. Let ABCD be a parallelogram with AB ǁ CD and AD ǁ BC


1 B 2


Draw a diagonal line from A to C and a diagonal line from B to D. Let AC intersect BD at E.


B 3 |AD| = |BC| (opposite sides of a parallelogram)


AD ǁ BC Therefore, AC is a transversal and |∠EAD| = |∠ECB|


A (alternate angles)


Therefore, DB is a transversal and |∠EDA| = |∠EBC|


4 (alternate angles)


Look at triangle 1 ∆ ADE and triangle 2 ∆ BCE. From step 3:


|AD| = |BC|


|∠EAD| = |∠ECB| |∠EDA| = |∠EBC|


Therefore, triangle 1 ∆ ADE and triangle 2 ∆ BCE are identical (congruent) by angle-side-angle (ASA).


5


Since the triangles are congruent, |AE| = |EC| (corresponding sides are equal) AC bisected |BE| = |ED| (corresponding sides are equal) BD bisected The diagonals of a parallelogram bisect each other.


The full formal proofs are not examinable for Junior Cycle Mathematics, but you should be able to display understanding of the proofs.


B A E B C E 2 C D B E C D A E C A E C D


A


D


C D


A 1


D


380


Linking Thinking 1


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