A 1 2


Let ABCD be a parallelogram, where AB ǁ CD and AD ǁ BC Draw a diagonal line from B to D .


Adiagonal is a line segment joining two vertices of a polygon, when those vertices are not on the same edge.


A 3 AD ǁ BC


Therefore BD is a transversal and |∠ABD| = |∠BDC| (alternate angles) |∠ADB| = |∠DBC| (alternate angles)


4 Look at triangle 1, ∆ ABD and triangle 2 ∆ BCD


The diagonal drawn in step 2 is a common side to both triangles |∠ABD| = |∠BDC| and |∠ADB| = |∠DBC| from step 3.


B 5


From step 4, we can say that the two triangles are congruent (identical) by angle-side-angle (ASA).


Therefore, in the parallelogram |AB| = |CD| (opposite sides are equal) |AD| = |BC| (opposite sides are equal) |∠DAB | = |∠BCD | (opposite angles are equal)


A B A 1 2 C D C D D


D


B


C


B


C


Converse 1 of Theorem 9: If the opposite angles of a quadrilateral are equal, then it is a parallelogram. Converse 2 to Theorem 9: If the opposite sides of a quadrilateral are equal, then it is a parallelogram.


Worked example


Find the values of A and B and the length of the sides marked x and y in each if the following diagrams. Justify each of you answers using an axiom or theorem or corollary used to fi nd the answer. (i)


x 14 cm A 12 cm 120° B 60° y x B 8 cm Solution (ii) 65° 21 m


6A+4 4B+6


8 m


(ii) (iii) (iv) 58°


y A 115° 9 cm x 122° x y 75 m A 300 m B y 130°


(iii)


Section B Moving forward


377


23 Quadrilaterals and transformations


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