Power of Maths: Paper 1 – Section 8


y (b) Crosses y-axis: x = 0: y = 4


(0, 4) is the point where the curve crosses the y-axis.


x –1 01234 5 y 20 40240 –16


(c) (i) f (x) = y ≥ 0: Curve is above or on the x-axis from −1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R.


(ii) f ʹ(x) < 0: Curve is decreasing from −1 ≤ x < 1, 3 < x ≤ 5, x ∈ R.


10 12 14 16 18 20


2 4 6 8


–20 –18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2


L Max (3, 4)


–1 12345 L Min (1, 0)


x


EXAMPLE 17


(a) Find the co-ordinates of the local maximum and the local minimum of the function y = f (x) = x 3 − 12x + 2, x ∈ R.


(b) Plot y = f (x) in the domain −3 ≤ x ≤ 3, x ∈ R. (c) Plot g (x) = −12x + 6 on the same diagram. (d) Use your graph to fi nd the value of x at which f (x) = g (x) hence, estimate 3


one decimal place.


Solution (a) y = f (x) = x 3 − 12x + 2 dy


___ dx = 3x 2 − 12


___ dx = 0 3x 2 − 12 = 0 x 2 = 4


dy


x = ± √ d 2 y


__ 4 = ± 2


___ dx 2 = 6x


322 x = 2: d 2 y


___ dx 2 = 12 > 0


There is a local minimum at x = 2. x = 2: y = (2)3 – 12(2) + 2 = –14 (2, –14) is a local minimum. d 2 y


x = −2: [There are two stationary points.]


___ dx 2 = −12 < 0


There is a local maximum at x = –2. x = −2: y = (–2)3 – 12(–2) + 2 = 18 (–2, 18) is a local maximum.


√


__ 4 , correct to


Page 1  |  Page 2  |  Page 3  |  Page 4  |  Page 5  |  Page 6  |  Page 7  |  Page 8  |  Page 9  |  Page 10  |  Page 11  |  Page 12  |  Page 13  |  Page 14  |  Page 15  |  Page 16  |  Page 17  |  Page 18  |  Page 19  |  Page 20  |  Page 21  |  Page 22  |  Page 23  |  Page 24  |  Page 25  |  Page 26  |  Page 27  |  Page 28  |  Page 29  |  Page 30  |  Page 31  |  Page 32  |  Page 33  |  Page 34  |  Page 35  |  Page 36  |  Page 37  |  Page 38  |  Page 39  |  Page 40  |  Page 41  |  Page 42  |  Page 43  |  Page 44  |  Page 45  |  Page 46  |  Page 47  |  Page 48  |  Page 49  |  Page 50  |  Page 51  |  Page 52  |  Page 53  |  Page 54  |  Page 55  |  Page 56  |  Page 57  |  Page 58  |  Page 59  |  Page 60  |  Page 61  |  Page 62  |  Page 63  |  Page 64  |  Page 65  |  Page 66  |  Page 67  |  Page 68  |  Page 69  |  Page 70  |  Page 71  |  Page 72  |  Page 73  |  Page 74  |  Page 75  |  Page 76  |  Page 77  |  Page 78  |  Page 79  |  Page 80  |  Page 81  |  Page 82  |  Page 83  |  Page 84  |  Page 85  |  Page 86  |  Page 87  |  Page 88  |  Page 89  |  Page 90  |  Page 91  |  Page 92  |  Page 93  |  Page 94  |  Page 95  |  Page 96  |  Page 97  |  Page 98  |  Page 99  |  Page 100  |  Page 101  |  Page 102  |  Page 103  |  Page 104  |  Page 105  |  Page 106  |  Page 107  |  Page 108  |  Page 109  |  Page 110  |  Page 111  |  Page 112  |  Page 113  |  Page 114  |  Page 115  |  Page 116  |  Page 117  |  Page 118  |  Page 119  |  Page 120  |  Page 121  |  Page 122  |  Page 123  |  Page 124  |  Page 125  |  Page 126  |  Page 127  |  Page 128  |  Page 129  |  Page 130  |  Page 131  |  Page 132  |  Page 133  |  Page 134  |  Page 135  |  Page 136  |  Page 137  |  Page 138  |  Page 139  |  Page 140  |  Page 141  |  Page 142  |  Page 143  |  Page 144  |  Page 145  |  Page 146  |  Page 147  |  Page 148  |  Page 149  |  Page 150  |  Page 151  |  Page 152  |  Page 153  |  Page 154  |  Page 155  |  Page 156  |  Page 157  |  Page 158  |  Page 159  |  Page 160  |  Page 161  |  Page 162  |  Page 163  |  Page 164  |  Page 165  |  Page 166  |  Page 167  |  Page 168  |  Page 169  |  Page 170  |  Page 171  |  Page 172  |  Page 173  |  Page 174  |  Page 175  |  Page 176  |  Page 177  |  Page 178  |  Page 179  |  Page 180  |  Page 181  |  Page 182  |  Page 183  |  Page 184  |  Page 185  |  Page 186  |  Page 187  |  Page 188  |  Page 189  |  Page 190  |  Page 191  |  Page 192  |  Page 193  |  Page 194  |  Page 195  |  Page 196  |  Page 197  |  Page 198  |  Page 199  |  Page 200  |  Page 201  |  Page 202  |  Page 203  |  Page 204  |  Page 205  |  Page 206  |  Page 207  |  Page 208  |  Page 209  |  Page 210  |  Page 211  |  Page 212  |  Page 213  |  Page 214  |  Page 215  |  Page 216  |  Page 217  |  Page 218  |  Page 219  |  Page 220  |  Page 221  |  Page 222  |  Page 223  |  Page 224  |  Page 225  |  Page 226  |  Page 227  |  Page 228  |  Page 229  |  Page 230  |  Page 231  |  Page 232  |  Page 233  |  Page 234  |  Page 235  |  Page 236  |  Page 237  |  Page 238  |  Page 239  |  Page 240  |  Page 241  |  Page 242  |  Page 243  |  Page 244  |  Page 245  |  Page 246  |  Page 247  |  Page 248  |  Page 249  |  Page 250  |  Page 251  |  Page 252  |  Page 253  |  Page 254  |  Page 255  |  Page 256  |  Page 257  |  Page 258  |  Page 259  |  Page 260  |  Page 261  |  Page 262  |  Page 263  |  Page 264  |  Page 265  |  Page 266  |  Page 267  |  Page 268  |  Page 269  |  Page 270  |  Page 271  |  Page 272  |  Page 273  |  Page 274  |  Page 275  |  Page 276  |  Page 277  |  Page 278  |  Page 279  |  Page 280  |  Page 281  |  Page 282  |  Page 283  |  Page 284  |  Page 285  |  Page 286  |  Page 287  |  Page 288  |  Page 289  |  Page 290  |  Page 291  |  Page 292  |  Page 293  |  Page 294  |  Page 295  |  Page 296  |  Page 297  |  Page 298  |  Page 299  |  Page 300  |  Page 301  |  Page 302  |  Page 303  |  Page 304  |  Page 305  |  Page 306  |  Page 307  |  Page 308  |  Page 309  |  Page 310  |  Page 311  |  Page 312  |  Page 313  |  Page 314  |  Page 315  |  Page 316  |  Page 317  |  Page 318  |  Page 319  |  Page 320  |  Page 321  |  Page 322  |  Page 323  |  Page 324  |  Page 325  |  Page 326  |  Page 327  |  Page 328  |  Page 329  |  Page 330  |  Page 331  |  Page 332  |  Page 333  |  Page 334  |  Page 335  |  Page 336  |  Page 337  |  Page 338  |  Page 339  |  Page 340  |  Page 341  |  Page 342  |  Page 343  |  Page 344  |  Page 345  |  Page 346  |  Page 347  |  Page 348  |  Page 349  |  Page 350  |  Page 351  |  Page 352  |  Page 353  |  Page 354  |  Page 355  |  Page 356  |  Page 357  |  Page 358  |  Page 359  |  Page 360  |  Page 361  |  Page 362  |  Page 363  |  Page 364  |  Page 365  |  Page 366