Power of Maths: Paper 1 – Section 7 Method for fi nding the composition


of functions To fi nd ( f o g)(x) or f ( g (x)): 1. Evaluate g (x) for the value of x and call the answer u. 2. Evaluate f at the value g (x) = u.


( f o g)(x) x


Input (x)


Output g 3. Write f (u) in terms of x. EXAMPLE 7 If f (x) = 2x + 1 and g (x) = x 2 – 3, fi nd:


(a) f ( g (x)) (b) ( g o f )(x)


Solution TIP


P


Always do the function on the extreme right fi rst.


(a) g(x) = (x 2 − 3) = u f ( g(x)) = f (u) = 2u + 1 f ( g(x)) = 2(x 2 − 3) + 1 = 2x 2 − 5


EXAMPLE 8 If f (x) = 2 x, g (x) = x + 1 and h (x) = x 2, fi nd:


(a) f (g(x)) (b) (h o f )(x)


(c) g (h(x)) (d) ( f o (g o h))(x)


Solution (a) g (x) = (x + 1) = u f (g (x)) = f (u) = 2u = 2 x + 1


(b) f (x) = 2 x = u h( f (x)) = h(u) = u 2 = (2x )2 = 2 2x


(c) h(x) = x 2 = u g (h (x)) = g (u) = (u) + 1 = x 2 + 1


(d) h (x) = x 2 = u g (h(x)) = g (u) = u + 1 = v f ( g (h(x))) = f (v) = 2 v = 2 u + 1 = 2 x 2 + 1


(c) ( f o f )(x) (d) g ( g (x))


(b) f (x) = (2x + 1) = u g( f (x)) = g(u) = u 2 − 3 = (2x + 1)2 − 3 g( f (x)) = 4x 2 + 4x − 2


(c) f (x) = (2x + 1) = u


f ( f (x)) = f (u) = 2u + 1 = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3


(d) g (x) = (x 2 − 3) = u


g ( g (x)) = g (u) = u2 − 3 = (x 2 − 3)2 – 3 = x 4 − 6x 2 + 6


g (x) = u f f (u) f ( g (x))


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