Complex Number Operations ACTIVITY Y 8


ACTION Exploring the modulus of a complex number


OBJECTIVE To fi nd the moduli of complex numbers and to see the effects by graphing on an Argand diagram


Steps for fi nding the modulus of a complex number z 1. Tidy up z into a single complex number in the form z = a + bi. 2. Find the modulus using | z | = √


_________ (a ) 2 + (b ) 2 .


EXAMPLE 6 Show that | z | = | w | , if z = 3 − 4i and w = − 3 + 4i.


Solution z = 3 − 4i: | z | = √ = √


EXAMPLE 7


If z = 3 − 4i and w = 15 + 8i, fi nd: (a) | z |


(b) | w | (c) | z + w | (d) | 2w | (e) 2 | w | (f) | 3z + w | (g) | z | + | w |


Solution z = 3 − 4i, w = 15 + 8i


(a) | z | = √ (b) | w | = √


__________ (3 ) 2 + (−4 ) 2 = √


______ 9 + 16 = √


__________ (15 ) 2 + (8 ) 2 = √


___ 25 = 5


________ 225 + 64 = √


__________ (18 ) 2 + (4 ) 2 = 2 √


___ 85


____ 289 = 17


(c) | z + w | = | 3 − 4i + 15 + 8i | = | 18 + 4i | = √


(d) | 2w | = | 2(15 + 8i) = √


(e) 2 | w | = 2(17) = 34 (f) | 3z + w | =


___________ (30 ) 2 + (16 ) 2 = 34


| = | 30 + 16i | | 3(3 − 4i) + (15 + 8i)


= | 9 − 12i + 15 + 8i | = | 24 − 4i | = √


(g) | z | + | w | = 5 + 17 = 22 In general, the following results can be deduced from Example 7:


1. | z + w | ≠ | z | + | w | 2. | kz | = k | z | , k ∈R


|


___________ (24 ) 2 + (−4 ) 2 = 4 √


___ 37


______ 9 + 16 = √


__________ (3 ) 2 + (−4 ) 2


___ 25 = 5 = √


∴ | z | = | w | w = −3 + 4i: | w | = √


______ 9 + 16 = √


___ 25 = 5


__________ (−3 ) 2 + (4 ) 2


14


213


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