Power of Maths: Paper 1 – Section 8


 y = 3 x 2 + 5 x 1 − 7 dy


___ dx


 y = x 3 __


y = 1 __


___ dx


dy


3 − 5 x 2 ___


3 x 3 − 5 __


= 1 __


= 3(2x) + 5(1 x 0 ) − 0 = 6x + 5 2 + 4x − 3 2 x 2 + 4 x 1 − 3


3 (3 x 2 ) − 5 __


2 (2x) + 4 (1 x 0 ) − 0 = x 2 − 5x + 4 Steps for differentiating linear, quadratic


and cubic functions 1. Simplify the function, if possible, by multiplying out brackets or by dividing (factors).


 y = (3x − 2)2 = 9x 2 − 12x + 4  4 x 2 − 1


______ 2x − 1 =


 x __


3 = 1 __


_____________ (2x − 1)


(2x − 1)(2x + 1)


3 x, 5 x 3 ___


2 = 5 __


= 2x + 1


2. Separate out the constants in front of the variable. 2 x 3


3. Differentiate each term in the expression. 4. Tidy up the fi nal expression. 5. Substitute a value if asked.


 y = (3x − 2 ) 2 = 9 x 2 − 12 x 1 + 4 ⇒


___ dx = 9(2x) − 12(1 x 0 ) + 0 = 18x − 12 = 6(3x − 2)


dy EXAMPLE 3


In a mountain stage of the Tour de France, the height h in metres of a cyclist above sea level t minutes after starting the climb is given by h = 4 t 3 − 30 t 2 + 250t + 130. Find the rate of change of the cyclist’s height above sea level with respect to time after 5 minutes.


___ dt = 4(3 t 2 ) − 30(2t) + 250(1 t 0 ) + 0 = 12 t 2 − 60t + 250


Solution h = 4 t 3 − 30 t 2 + 250 t 1 + 130 dh


t = 5: dh ___


dt = 12 × 25 − 60 × 5 + 250 = 250 m/min


302


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