Linear and Quadratic Equations WORKED EXAMPLE


5 Exploring the roots of quadratics


1. If (b2 – 4ac) > 0, you always get two different, real roots.


Consider the equation: 2x 2 – 7x + 4 = 0 a = 2, b = –7, c = 4 ∴ (b 2 – 4ac) = (–7)2 – 4(2)(4) = 49 – 32 = 17 > 0


This means when you solve this equation, you should get two different roots. These are: x = 7 ± √


_______ 4


___ 17


= 0·72, 2·78


2. If (b2 – 4ac) = 0, you always get two equal, real roots.


Consider the equation: 4x 2 – 12x + 9 = 0 a = 4, b = –12, c = 9 ∴ (b 2 – 4ac) = (–12)2 – 4(4)(9) = 144 – 144 = 0


This means that when you solve this equation, you should get two equal roots. They are: x = 12 ± √


_______ 2(4)


__ 0


= 1·5, 1·5


In this case, the quadratic is a perfect square because:


4x 2 – 12x + 9 = (2x – 3)(2x – 3) = (2x – 3 ) 2


Its two factors are identical.


3. If (b 2 – 4ac) < 0, you get no real roots. Consider the equation: x 2 − 2x + 2 = 0 a = 1, b = −2, c = 2 ∴ (b2 − 4ac) = (−2 ) 2 − 4(1)(2) = −4 < 0


The quadratic formula gives x = 2 ± √


The calculator gives an error reading. There are no real solutions.


_______ 2


___ –4


.


Graphical solutions of quadratic equations


y = ax 2 + bx + c is the equation of the quadratic function. The general shape of the graph of such a function is either:


a > 0 CUP


or


a < 0 CAP


This general shape is known as a parabola. y = 0 is the equation of the x-axis. Therefore, the solutions of ax 2 + bx + c = 0 are the values of x at which the parabola crosses the x-axis.


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