7_2_ Topologia e Geometria


Fino ad ora abbiamo usato diversi componenti e lavorato con superfici NURBS. Ma, come già detto, esistono altri tipi di superfici che in altri contesti, risultano utili. Non sempre vogliamo ottenere la bellezza e la dolcezza delle NURBS, ma potremo avere bisogno di un controllo più preciso, di processi più semplici o equazioni più facili. Oltre la classica superficie di rivoluzione, righe o tubi, abbiamo diverse superfici free form come quelle di Bezier, o le B-Spline. Tratteremo ora la tematica delle mesh, che rappresentano un altro tipo di superficie. Le mesh rappresentano un altra tipologia di superfici free form, composte di piccole parti (facce)la cui accumulazione crea l'intera superficie. Non esiste quindi alcuna funzione matematica interna o nascosta che generi la forma della superficie, la quale viene invece definita dall'insieme delle facce.


Osservando le mesh, concentriamoci sulle facce. Queste possono essere triangolari, rettangolari o esagonali. Guardandole più attentamente, possiamo vedere la griglia di punti che le crea. Questi punti sono elementi di base della superficie mesh. Ogni piccolo gruppo di questi punti (per esempio ogni tre nelle mesh triangolari) creano una faccia, che con il resto della geometria diventa una superficie. Questi punti sono connessi tra di loro da linee dritte. Ci sono due concetti fondamentali che riguardano le mesh: la posizione di questi punti e la loro connessione. La posizione dei punti è collegata alla geometria delle mesh e la connessione dei punti è collegata alla topologia.


Geometria vs Topologia


Mentre la geometria ha a che fare con la posizione degli oggetti nello spazio, la Topologia riguarda la loro relazione. Matematicamente parlando, la topologia rappresenta le proprietà degli oggetti che le trasformazioni e le deformazioni non possono modificare. Quindi per esempio una circonferenza ed un'ellisse sono topologicamente identiche, e hanno solo differenze geometriche. Osserviamo la fig. 7.14. Come vedete ci sono quattro punti connessi tra loro. Nella prima immagine, entrambi A e B hanno la stessa topologia perchè hanno la stessa relazione tra i loro punti (stessa connessione). Sono però geometricamente diversi a causa dello spostamento di un punto. Nella seconda immagine la geometria dei punti è la stessa mentre la loro connessione è diversa e non sono topologicamente equivalenti.


Fig. 7.14 Topologia e Geometria


Il concetto di topologia è molto importante per le mesh. Ogni faccia in un oggetto mesh, ha dei punti angolari e questi punti sono connessi l'uno con l'altro con un identico ordine per tutte le facce dell'oggetto mesh. Possiamo quindi applicare ogni trasformazione ad un oggetto mesh e spostarne i vertici in uno spazio anche se non uniformemente, ma la connessione dei vertici


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